W 1969 roku ukończył krakowską PWST, a 21 grudnia tego samego roku zadebiutował na scenie teatralnej rolą Roberta Faulconbridge'a w spektaklu "Król Jan według Szekspira" Durrenmatta w reż. Ireny Babel. Przez pierwsze dwa lata kariery teatralnej, związany był z krakowskim Teatrem Ludowym w Nowej Hucie (współpraca z reżyserami Bogdanem Hussakowskim, Janem Skotnickim), przez kolejne trzy – z warszawskim Teatrem Narodowym (1971-74), gdzie pracował pod kierunkiem Adama Hanuszkiewicza i Tadeusza Minca. Od 1974 roku, niemal nieprzerwanie należy do zespołu Teatru Polskiego w Warszawie. Na naszej scenie występował w przedstawieniach, które reżyserowali m.in. August Kowalczyk, Stanisław Różewicz, Ignacy Gogolewski, Kazimierz Dejmek, Jan Bratkowski, Andrzej Łapicki. Współpracował w tym czasie także z Teatrem "Scena Prezentacje" w Warszawie, Teatrem im. Juliusza Osterwy w Lublinie i Gorzowie Wielkopolskim, Teatrem Powszechnym w Radomiu. Od 1971 występuje również na scenie Teatru Telewizji, w spektaklach reżyserowanych m.in. przez Jerzego Gruzę, Kazimierza Dejmka, Jana Englerta, Macieja Prusa czy Gustawa Holoubka. Jako aktor filmowy kojarzony jest przede wszystkim z pamiętnych kreacji Bogusława Radziwiłła w „Potopie” i ordynata Michorowskiego w „Trędowatej” Jerzego Hoffmana oraz jako jeden z odtwórców ról u Andrzeja Żuławskiego. Od lat należy do stałej obsady telenoweli „Złotopolscy”. Jego debiutem filmowym była rola u boku Małgorzaty Braunek w „Trzeciej części nocy” Andrzeja Żuławskiego (1971). Rok później ponownie spotkał się zarówno z Braunek, jak i Żuławskim na planie „Diabła” z Wojciechem Pszoniakiem w roli głównej (1972). W 1977 roku otrzymał Nagrodę "Złote Grono" na LLF w Łagowie, dla najpopularniejszego aktora sezonu filmowego 1976/77. W międzyczasie ponownie spotkał się z Hoffmanem, grając księdza Muchowieckiego w jego ekranizacji „Ogniem i mieczem” (1999 rok), wystąpił w roli prezesa Zenona Parcewicza w serialu Andrzeja Kotkowskiego „Wszystkie pieniądze świata” (1999), zagrał u Jerzego Gruzy w komediowym serialu „Tygrysy Europy” (1999) oraz pojawił się w roli kandydata na prezydenta w filmie „Bajland” Henryka Dederki (2000). Ponadto zagościł w pojedynczych odcinkach takich produkcji telewizyjnych, jak serial Kazimierza Kutza „Sława i chwała” (1997), sitcom „13 posterunek” (1998), serial kryminalny „As” (2002) i telenowela „Na dobre i na złe” (2005). Leszek Teleszyński jest polskim lektorem książek w formacie audio. Nagrał wersje mówione takich autorów jak: Jeffrey Archer, Ken Follett, Frederick Forsyth, Stephen King, Nicholas Sparks.